Sequência de Fibonacci: veja as suas aplicações na natureza e na arte


A Sequência de Fibonacci é uma sucessão de números que, misteriosamente, está presente em diversos fenômenos da natureza, organismos vivos e fatos do nosso cotidiano. Ela foi elaborada pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci, também conhecido por Leonardo Pisa ou Leonardo Bigollo, ao final do século 12. Se trata de uma sequência numérica começa com 0 e 1 e é infinita. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores:

Fn = Fn - 1 + Fn - 2
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5 
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34

A Sequência de Fibonacci pode ser aplicada em inúmeros casos da matemática, como também na ciência da computação e na teoria de jogos. Ela está presente até na análise de mercados financeiros, já que alguns matemáticos defendem que as flutuações das ações seguem um padrão de crescimento e decréscimo que espelha a Sequência. 

Mas não para por aí. Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, pode ser construído um retângulo com características específicas, chamado de Retângulo de Ouro. Se trata de uma forma geométrica com a seguinte propriedade: se o dividirmos em um quadrado e em um outro retângulo, o novo retângulo será semelhante ao original.

retangulo

Espiral de Fibonacci

A partir daí, se desenharmos um arco seguindo a sequência numérica dentro desse retângulo, é possível traçar uma espiral perfeita, a chamada Espiral de Fibonacci

fibonacci

A Espiral de Fibonacci aparece em diversos casos da natureza ou da fisiologia humana. Veja alguns dos mais famosos:

Girassol

Quando olhamos para as sementes na flor do girassol, conseguimos perceber que ela forma uma espiral, tanto para um lado quando para o outro. Ambos os sentidos têm a proporção da Sequência de Fibonacci. 

girassol

Caracol

Do corpo até a cabeça do caracol, é possível aplicar com perfeição a sequência de Fibonacci. Veja na ilustração abaixo:

caracol

Pinhas

O desenho das escamas da pinha também segue a mesma lógica.

pinha

Plantas

A planta de nome científico Aloe polyphylla tem uma espiral semelhante à uma mandala, e folhas dispostas em uma simetria impressionante. 

planta

Furacões

A imagem da formação de um furação também se aplica à Sequência de Fibonacci. 

furacao

Conchas

A imagem da concha Nautilus Seccionada exprime com precisão a Espiral. 

Concha

Vegetais

O chamado Brócoli Romanesco, originário da Itália, também segue essa mesma sequência.

vegetal

Galáxia

Até mesmo uma galáxia espiral segue a proporção da Sequência de Fibonacci, o que para os defensores do design inteligente é mais uma prova de que certas características do universo e dos seres vivos são melhor explicadas por uma causa inteligente.

galaxia

Proporção áurea

Os números da Sequência de Fibonacci formam o que se conhece como proporção áurea, um conceito visual amplamente difundido nas artes plásticas, arquitetura e design, por ser harmônico para os olhos humanos. O valor da proporção áurea é de aproximadamente 1,618, o chamado número Phi, que é obtido quando se divide um número com o seu antecessor da sequência de Fibonacci.

Esse número pode ser encontrado sob diferentes alcunhas, como proporção áurea, número de ouro, número áureo, proporção dourada, razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão, ou, simplesmente, Φ (Phi).

O mundo da arte não seria o mesmo sem a proporção áurea

Pode parecer impressionante, mas as proporções do corpo humano  se aproximam muito da proporção áurea em várias situações. Como por exemplo, calculando a divisão da sua altura pela medida do seu umbigo até o chão. Assim como se aplica na relação entre o comprimento e a largura do útero de mulheres em suas idades mais férteis, dos 16 anos aos 20 anos.

Grandes obras primas da história do mundo também espelham o Número de Ouro, como as pirâmides do Egito. Alguns estudos apontam para a presença de Phi em relação à base e sua altura, além da distância entre os blocos. Uma das obras-primas arquitetônicas de Gaudí, a Igreja Sagrada Família, em Barcelona, tem vários elementos que aludem à proporção áurea, como a famosa escada em espiral, que lembra a concha de um caracol.

escada
A escada em espiral, na Sagrada Família, obra de Gaudí em Barcelona

A poesia também tem seus casos. No poema épico grego Ilíada, de Homero, a proporção entre as estrofes maiores e menores é um número próximo a 1,618. Mas a proporção áurea fica também muito evidente nas obras de artes plásticas de artistas consagrados. Como podemos ver nas imagens a seguir:

Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci

monalisa

Moça com brinco de pérola, de Johannes Vermeer 

Moça com brinco de pérola

A Criação de Adão, de Michelangelo

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O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci

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Outras aplicações da Sequência de Fibonacci 

A aplicação da Sequência de Fibonacci em diferentes situações é realmente surpreendente. Mas é falsa a ideia de que tudo na natureza é feito com base na proporção áurea. Então, qual é a sua aplicação real atualmente? Além dos exemplos que vimos da proporção áurea na arte e na natureza, em que ocasiões ela é usada?

  • Na física: mais propriamente na ótica dos raios de luz, quando sobrepomos duas placas de vidro e podemos visualizar o número de caminhos possíveis de um raio de luz aumentando gradualmente o número de reflexões nesses caminhos.
  • No mercado financeiro: há ampla literatura que demonstra como calcular e prever pontos de inflexão no mercado de commodities, analisar ciclos econômicos e identificar momentos lucrativos na taxa de juros de acordo com a Sequência de Fibonacci. 
  • Na Ciência da Computação: a sequência serve como fundamento para uma gama de algoritmos e tem aplicação em processamento de textos, ordenação de estrutura de dados, engenharia de software e testes de programas.
  • Em sistemas de apostas: seguindo a lógica de que desde que aumente continuamente o montante apostado, qualquer aposta vencedora irá compensar as perdas anteriores, a sequência é usada para gerar lucros em jogos de futebol.  

Veja mais sobre a proporção áurea: definição de beleza ou mito?