Números primos: o que você precisa saber em 7 fatos e curiosidades


Para que um número seja considerado primo ele deve ser maior do que o número 1 e ser divisível por apenas dois números, o número 1 e por ele mesmo. Ou seja, o número 5 é um número primo, pois ele é divisível por 1 e por 5 e não é divisível por mais nenhum outro número natural.

Números primos entre 1 e 100

Explicando dessa forma, os números primos parecem ser muito fáceis de entender e reconhecer. No entanto, até hoje não existe uma fórmula simples para encontrar os números primos grandes e quanto mais gigantes eles ficam, mais complexos eles também se tornam. Na realidade, os números primos aparecem quase aleatoriamente incorporados no espaço de todos os números naturais e essa falta de padrão significa que sequências de primos não tendem a surgir de processos que ocorrem naturalmente.

Ao longo de milênios, os matemáticos estiveram fascinados pelos números primos e pelas milhares de possibilidades que eles proporcionam. Hoje, os números primos estão nas raízes de questões como a criptografia e até mesmo prêmios são destinados para pessoas que encontram novos números primos gigantescos. Mas por que exatamente eles são tão impressionantes?

Quer entender mais sobre o fascinante mundo dos números primos? Embarque com a gente nesta jornada matemática recheada de curiosidades!

1. Existem 168 números primos entre 1 e 1000

Temos que ter em consideração algumas questões interessantes sobre os números primos para entendê-los:

  • Os números 0 e 1 não são considerados números primos.
  • O número 2 é o único número primo par.
  • Nenhum número primo além de 5 termina em 5.
  • Com exceção dos números 0 e 1, se um número não é primo, ele é chamado de composto.
  • Os números compostos são, portanto, qualquer número maior que 1 que não seja primo.
  • Nós podemos decompor qualquer número natural maior que 1 em fatores primos. Esse processo é chamado de decomposição de fatoração de um número natural.

Números primos entre 1 e 1000

2. Crivo de Eratóstenes: um jogo matemático para encontrar os números primos

O matemático grego Eratóstenes foi um das figuras mais brilhantes do período Helênico. Ele foi bibliotecário chefe na maior biblioteca construída no mundo antigo, a Biblioteca de Alexandria, e tinha um grande interesse por astronomia, música e geográfica. Ele também foi o primeiro a calcular a circunferência da Terra com uma grande precisão para a época.

Pintura do matemático Eratóstenes
Pintura de Eratóstenes ensinando em Alexandria. Bernardo Strozzi (cerca de 1631).

Eratóstenes também criou um método para encontrar números primos com uma maior facilidade. Este método, que pode ser encarado como um joguinho, tem como base “peneirar” os números compostos de uma tabela para encontrar os números primos. Crivo é um sinônimo para peneira e é por isso que o seu esquema ficou conhecido como Crivo de Eratóstenes.

Neste esquema, vamos demonstrar com uma tabela que apresenta os números de 1 a 120. Siga os passos abaixo para encontrar os números primos:

  • Circule o número 2, ele é o primeiro número primo;
  • Elimine todos os múltiplos de 2 maiores do que ele;
  • Circule o número 3, ele é o próximo número primo;
  • Elimine todos os múltiplos de 3. Note que alguns já foram eliminados anteriormente, como o número 6, mas números como o 9 serão eliminados a partir deste momento.
  • Circule o número 5, ele é o próximo número primo;
  • Elimine todos os múltiplos de 5. Vários deles já terão sido eliminados pelas etapas anteriores, mas números como 25 e 35 só serão cortados neste momento.
  • Circule o número 7, ele é o último número primo menor que 10;
  • Agora elimine os múltiplos de 7 que ainda não foram cortados anteriormente;
  • Todos os números que restaram são números primos! Divertido, não?!

Tabela dos números primos encontrados através do Crivo de Eratóstenes

3. Como os números primos atuam na criptografia de dados

A criptografia está cada vez mais presente no nosso dia a dia. Você pode não saber exatamente o que ela é e como ela funciona, mas já deve ter lido mensagens em aplicativos no seu celular como “suas mensagens e ligações estão protegidas com a criptografia de ponta a ponta”. Mas como exatamente ela protege as nossas informações e o que os números primos tem a ver com isso?

A criptografia é basicamente o estudo de técnicas que tornam segura a comunicação entre pessoas. Hoje, ela é utilizada amplamente para a segurança de informação e se apropria de princípios da matemática, da física, da ciência da computação e da engenharia elétrica para proteger os mais diversos dados em programas de computador e celular.

Imagem que mostra a insegurança da internet

Imagine, por exemplo, enviar o número de seu cartão de crédito para fazer uma compra online e não ter a segurança de que esta informação não será vazada. Assustador, não? Mas graças a criptografia, seus dados estarão sempre seguros.

Existem dois tipos de criptografia. A simétrica é quando ambos os participantes compartilham um segredo e é baseada na Probabilidade Discreta. A assimétrica é quando uma das partes possui um segredo que o outro não possui. A criptografia assimétrica utiliza amplamente dos números primos e é baseada na Teoria dos Números.

O Rivest-Shamir-Adleman, mais conhecido como RSA é um dos mais antigos sistemas de criptografia de chave pública utilizado para a transmissão segura de dados e sua base está na utilização de números primos gigantes.

Qualquer número pode ser quebrado por números primos em um processo chamado fatoração. Por exemplo, o número 21 pode ser fatorado em 3 x 7. O número 255.255 pode ser quebrado pelos números primos 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17.

Agora imagine quebrar números de mais de 1000 dígitos em números primos? Apesar de termos avançado muito na matemática computacional, ainda dependemos da tentativa e erro para conseguir fatorar números enormes em primos.

Imagem que mostra como funciona a criptografia de dados da internet através das chaves públicas e privadas

É basicamente este o princípio da criptografia de dados assimétrica. No caso do RSA, um usuário cria e publica uma chave pública que é baseada em dois números primos gigantes, com um valor auxiliar. Estes números são mantidos em segredo. Qualquer pessoa pode utilizar a chave pública para encriptar uma informação, contudo, apenas quem conhecer os números primos que deram origem àquela chave poderá decodificar a informação.

No caso de uma mensagem, apenas quem possui a chave secreta ou privada para desencriptar a informação encriptada pela chave pública consegue revelá-la. Se uma outra pessoa não possui este dado e quer revelar o segredo, ela teria que forçar por meio de tentativa e erro para descobrir os números primos envolvidos.

Este tipo de criptografia está presente na sua vida muito mais do que você possa imaginar. Ela é responsável, por exemplo, para as mensagens de emails, para suas compras online e até no login que você faz para acessar o seu Facebook.

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4. O maior número primo possui quase 25 milhões de dígitos

O maior número primo já descoberto ficou conhecido como M82589933 e possui 24.862.048 dígitos. Essa “caça” a números primos gigantescos faz parte de uma projeto de pesquisa global conhecido como Great Internet Mersenne Prime Search.

Estes números primos gigantes são conhecidos como primos de Mersenne, em homenagem à um monge francês que estudava números primos a cerca de 350 anos atrás. O projeto que leva o seu nome permite com que usuários de todo o mundo façam o download de um programa para colocar seus dotes matemáticos em prática e ir à caça de números primos.

Se a gente escrevesse este número em um documento do Word, ele preencheria milhares e milhares de página. Só para você ter uma ideia, um simples documento de Bloco de Texto com ele pesa cerca de 24 MB. Abaixo você pode conferir o começo do maior número primo já encontrado na história:

O começo do maior número primo já descoberto.

Descoberto em dezembro de 2018 pelo profissional de Tecnologia da Informação Patrick Laroche, o número primo M82589933 foi verificado durante duas semanas por matemáticos antes que fosse anunciado como primo. O norte-americano morador do estado da Flórida, nos Estados Unidos, recebeu na época um prêmio equivalente de 3.000 dólares.

5. Você também pode ganhar dinheiro procurando números primos gigantes!

Já pensou ficar rico por encontrar um número primo? O projeto Great Internet Mersenne Prime Search atualmente oferece 3.000 dólares por descobertas de números primos com menos de 100.000 milhões de dígitos. Tudo o que você precisa fazer é realizar o download do programa disponível gratuitamente no site do projeto e ir à caça dos números.

Atualmente, este projeto, junto ao Eletronic Frontier Foundation, coordena uma pesquisa para encontrar números primos superiores aos 100 milhões de dígitos e vai dividir um prêmio de 150.000 dólares para quem conseguir o feito.

A história deste prêmio dedicado aos números primos data de 1999, quando uma pessoa ganhou 50.000 dólares por descobrir o primeiro número primo com mais de 1 milhão de dígitos. Em 2008, o recorde passou de dez milhões de dígitos e o vencedor levou 100.000 dólares.

6. Os números primos são infinitos

Como visto ao longo deste conteúdo, não existe uma fórmula que permita a identificação clara de números primos, ainda mais os gigantescos. Outro desafio que os matemáticos encaram atualmente é como distribuir os números primos. Na verdade, a quantidade de números primos dentro de uma certa quantidade de números varia bastante. Dê uma olhada na tabela para entender melhor:

Imagem que mostra a quantidade de números primos entre um quantidade específica de intervalo de números

Os matemáticos chegaram à conclusão de que não existe um número primo maior que todos. Eles são, portanto, infinitos.

7. Números primos e a comunicação com extraterrestres

Uma outra aplicação pouco conhecida para os números primos é a tentativa de se comunicar com seres de outros planetas. Isso foi demonstrado para um grande público pela primeira vez no filme de 1997, Contato, adaptação do livro de mesmo nome do escritor Carl Sagan.

No filme, uma cientista detecta um sinal vindo de uma estrela chamada Vega, que está a 25 anos luz de distância. Os cientistas logo percebem que a sequência enviada pelos seres alienígena são os primeiros números primos: 2, 3, 5, 7 e 11.

Mas isso não é apenas ficção. A primeira mensagem a ser transmitida pelo homem na esperança de entrar em contato com extraterrestres foi chamada de Mensagem de Arecibo. Ela continha apenas 1679 bits de informação e é o produto de dois números primos: 23 e 73. Quando ela é emitida em uma grade, revela uma série de figuras simples.

Imagem que mostra a mensagem enviada através de criptografia para milhares de anos luz da Terra.
Esta imagem revela algumas possibilidades de decodificação da mensagem de Arecibo enviada em 1974 para o espaço.

A mensagem foi transmitida pelo radiotelescópio Arecibo e enviada apenas uma vez em 1974. Ela deve chegar ao Grande Aglomerado Globular de Hércules no ano de 26.974. A mensagem mostra um resumo condensado da espécie humana, como a nossa biologia, a tecnologia utilizada por nós e a nossa localização no espaço.

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